Вас приветствует команда «Дважды два»
Бином Ньютона
Почему формула бинома носит имя И. Ньютона?
Вопросами, связанными с возведением в степень двучлена, занималось огромное количество математиков с самых древних времен, проживающих в различных странах: в Древней Греции, Вавилоне, на Востоке, в Китае, в Индии, в Средней Азии в Европе. В их число входят такие известные греческие ученые, как Пифагор, Евклид, Диофант Александрийский, индусы: Брахмагупта, Ариабхата, Энтури, иранцы: аль-Караджи, Омар Хайям, Ал-Самавал си Магриби, ал-Каши, китайцы: Ян Хуэй,Чу Ши-Чи, Цзя-Сянь, Чжу-Ши Цзе ,среднеазиатский математик Шараф ад-Дина ат-Туси, исламский математик Абу-л-Вафы ал-Бузджани, европейцы: М.Штифель, Н. Тарталья, С. Стевин, Б. Паскаль, Д. Валлис, П.Эригон, Р.Бомбелли, Н. Кауфман, Дж.Грегори и многие , многие другие. Каждый из них в разной степени вносил свой вклад решение проблемы разложения бинома.
Но все же не случайно формула бинома носит имя Исаака Ньютона. Мы считаем, что это абсолютно правильно, ведь именно этот ученый в 1664-1665г, основываясь на трудах своих современников, занимающихся данным вопросом, на основе метода математической индукции не просто вывел эту формулу, но и показал ее справедливость для любого рационального числа. Это обобщение имело огромное значение для развития математики того времени.
Верно ли исторически название «Бином Ньютона»?
Из истории математики известно, что решая вопрос об извлечении корней любой ступени, арабские ученые пришли к формуле для степени суммы двух чисел, известной под историческим названием "бином Ньютона". По – видимому, эту формулу знал живший в 11-12 вв.н. э. поэт и математик Омар Хайям, которую он описал в работе “Трудности арифметики”.Таким образом, формула, известная как бинома Ньютона, была открыта Омаром Хайямом в 1123 году – за несколько столетий до Исаака Ньютона. Во всяком случае, уже в 13 в. такую формулу приводит в своих трудах Насир ад-Дин ат-Туси, а в 15 в. она была исследована Гиясэддином ал-Каши в сочинении «Ключ арифметики». Однако, эти математические работы долгое время оставались неизвестными европейским математикам, и им пришлось открывать ее заново. Конечно, справедливости ради нужно отметить что, присваивая имя ученого названию формулы бинома, надо было учитывать первенство в ее открытии.
В тоже время, исходя из исторических фактов, европейцы просто не знали об этом, в дальнейшем изменять название формулы никто не стал.Наверное, ради исторической справедливости после детального изучения этого вопроса, можно было бы дать ей двойное название, как это часто бывает в науке, таким примером может служить формула Ньютона - Лейбница.
Применение формулы бинома Ньютона в математике и других науках.
В математике:
1)В преобразовании двучлена n-ой степени в многочлен
Примеры, использования формулы:
(1 + 3а)4 = 14 + 4·13·3а + 6·12·(3а)2 + 4· 11·(3а)3 + (3а)4 =
1 + 12а + 54а2 + 108а3 + 81а4
(х – у)6 = (х + (-у))6 = х6 + 6х5(-у) + 15х4(-у)2 + 20х3(-у)3 +
15х2(-у)4 + 6х(-у)5 + у6= х6– 6х5у +15х4у2– 20х3у3 + 15х2у4 – 6ху5+ у6.
2) в комбинаторике
3) в выполнении приближенных вычислений:
Пусть в формуле бинома Ньютона (a + b)n = ап + Cn1 ап— 1 b + Cn2 ап— 2 b2 + ... + Cnп— 1 аbп— 1 + Cnп bп
а = 1, b = х, получим:(1 + х)n = 1 + Cn1 х + Cn2 х2 + ... + Cnп— 1 х п— 1 + Cnп хп . Назовем ее формулой 1.
Если величина х мала, то величины х2, х3, ..., хп тем более малы. Поэтому если в формуле 1 отбросить члены, содержащие х2, х3, ..., хп, то получится приближенная формула 2 (1 + х)n ≈ 1 + Cn1 х
Ошибка такого приближения должна быть небольшой. В нашем случае Cn1 = п, поэтому формулу2 можно переписать в виде формулы 3:
(1 + х)n ≈ 1 + n х
При малых значениях х формула 3 дает вполне удовлетворительный результат. Примеры, использования формулы:
0,99 = (1 — 0,01)5 ≈ 1 — 5 • 0,01 = 0,95;
(0,97)2 = (1 — 0,03)2 ≈ 1 — 2 • 0,03 = 0,94.
4) при доказательстве неравенств
5) в интегральном исчислении
6) при исследовании функций
7) в геометрии для представления и последовательного получения коэффициентов в задаче деления окружности или угла на m равных частей.
В других науках: физике, экономике, статистике, программировании, логи